在研究生考试中,凡是涉及到高等数学的数学考试,求极限的考察是必不可少的.其实,高等数学就是以极限开始,以极限结束,求极限贯穿高等数学的始终.当然,求极限主要分为两种:函数的极限和数列的极限,在这里我们先谈谈函数的极限.对于函数的极限的考察,既可以单纯地求解具体的函数的极限,又可以求解满足某些性质的抽象的函数的极限.其题型,既可以是选择题填空题,又可以是大题,甚至是大题中的证明题.总之,内容丰富多样,让同学们很是头疼.不过,对于这一类题目,依旧有规律可循,如今年数学一的一个单纯的求解极限的题目:“ .”
首先,我们来大致分析一下,这一题是填空题的第一题，是一个小题目，4分.其次,是具体的函数求极限.对这种类型,总的原则是用洛必达法则.在使用洛必达法则的时候,尽可能多地借助等价无穷小来简化运算.上次我们复习了无穷小量,现在再来回顾一下:
无穷小量的定义：如果函数当或时的极限为零,那么称函数为当或时的无穷小.等价无穷小的定义：设是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且则：，称与是等价无穷小，记作：.
以上是等价无穷小的定义.那么就考试范围而言,我们需要掌握哪些基本的等价无穷小呢?在这里我给大家罗列几个重要的等价无穷小:
时,;
对于这个表达式,我们可以这样来记忆,等价无穷小把基本初等函数都串起来了,从左往右看,函数的类型分别为幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数.此外,还需要延伸两个等价无穷小:.
介绍完等价无穷小后,再来学习罗比达法则吧:
1. 时的未定型
设(1)当时，函数和都趋于零；
(2)在点的某去心邻域内，和都存在，且；
(3)存在(或为无穷大)，
则 .
2. 时的未定型
设(1)当时，函数和都趋于零；
(2)当时，和都存在，且；
(3)存在(或为无穷大)，
则 .
3. 仅当型或型才可以考虑用洛比达法则. 当然，对于，，，，型的未定型可以通过转化成为型或型后，再考虑使用洛比达法则.
具备以上的知识,基本上这一题就能解决了,现在来写一下它的解答过程:
这一题主要考察的是等价无穷小的使用,洛必达法则,另外还有变上限积分求导公式,属于基础题,同学们掌握这些基本知识,就能很好地完成本题了.
